Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{225}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $625$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $625$ por $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{225}$ para o numerador.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Etapa 3.2.1.3.2

Fatore $25$ de $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Etapa 3.2.1.3.3

Fatore $25$ de $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Etapa 3.2.1.3.4

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Etapa 3.2.1.3.5

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Etapa 3.2.1.4

Combine $25$ e $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Etapa 3.2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

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Etapa 5.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $625$ como $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{25 x^{2}}{9}$ como ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 25$ e $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.3

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine $25$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Fatore $5$ de $25 \cdot 3 + 5 x$ .

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Etapa 5.5.1.1

Fatore $5$ de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $5$ de $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.6

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.7

Simplifique os termos.

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Etapa 5.7.1

Combine $25$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Etapa 5.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Etapa 5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.8.1

Fatore $5$ de $25 \cdot 3 - 5 x$ .

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Etapa 5.8.1.1

Fatore $5$ de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Etapa 5.8.1.2

Fatore $5$ de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Etapa 5.8.1.3

Fatore $5$ de $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Etapa 5.9

Combine frações.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $\frac{5 (15 + x)}{3}$ por $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.9.2

Multiplique.

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Etapa 5.9.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Etapa 5.9.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Etapa 5.10

Reescreva $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ como ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

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Etapa 5.10.1

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Etapa 5.10.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.10.3

Reorganize a fração $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Etapa 5.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Etapa 5.12

Combine $\frac{5}{3}$ e $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Etapa 8.2

Defina $15 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $15 + x$ como igual a $0$ .

$15 + x = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$x = - 15$

Etapa 8.3

Defina $15 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $15 - x$ como igual a $0$ .

$15 - x = 0$

Etapa 8.3.2

Resolva $15 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.3.2.1

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$- x = - 15$

Etapa 8.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 15$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 15$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.2.3.1

Divida $- 15$ por $- 1$ .

$x = 15$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 15, 15$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 15$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 15$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 18$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 18$ na desigualdade original.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 99$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 15 < x < 15$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 15 < x < 15$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $225$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 15$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 15$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 18$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $18$ na desigualdade original.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 99$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Verdadeiro

$x > 15$ Falso

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Verdadeiro

$x > 15$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 15 \leq x \leq 15$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 15, 15]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 25, 25]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Intervalo: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Etapa 12