Matemática discreta Exemplos

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1$

Etapa 1

Some $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ aos dois lados da equação.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Etapa 2

Simplifique $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ .

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Etapa 2.1

Combine em uma fração.

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Etapa 2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Etapa 2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + {(x - 3)}^{2}}{64}$

Etapa 2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + (x - 3) (x - 3)}{64}$

Etapa 2.2.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{64}$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{64}$

Etapa 2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Etapa 2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Etapa 2.2.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Etapa 2.2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{64}$

Etapa 2.2.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 6 x + 9}{64}$

Etapa 2.2.4

Some $64$ e $9$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $36$ .

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $36$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

${(y - 8)}^{2} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $36$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Etapa 4.2.1.1.2

Fatore $4$ de $64$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$

Etapa 4.2.1.2

Combine $9$ e $\frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$ .

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Etapa 6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$ como ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9 (x^{2} - 6 x + 73)$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Etapa 6.1.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.1.3

Reorganize a fração $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}$

Etapa 6.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$

Etapa 6.3

Combine $\frac{3}{4}$ e $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ .

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Etapa 7.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Etapa 7.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Etapa 7.4

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Etapa 7.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Etapa 8

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 6 x + 73 \geq 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 6 x + 73 = 0$

Etapa 9.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 9.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 73$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4

Simplifique.

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Etapa 9.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Etapa 9.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.3

Subtraia $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.4

Reescreva $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.7

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.1.9

Mova $16$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Etapa 9.4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 9.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Etapa 9.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.3

Subtraia $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.4

Reescreva $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.7

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.1.9

Mova $16$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Etapa 9.5.3

Simplifique $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Etapa 9.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 3 + 8 i$

Etapa 9.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 9.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.6.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Etapa 9.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.3

Subtraia $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.4

Reescreva $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.7

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.1.9

Mova $16$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Etapa 9.6.3

Simplifique $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Etapa 9.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 3 - 8 i$

Etapa 9.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

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Etapa 9.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$x^{2}$

Etapa 9.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$1$

Etapa 9.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $x^{2} - 6 x + 73$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 10

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 11

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2] \cup [14, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq 2, y \geq 14}$

Etapa 12

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Intervalo: $(- \infty, 2] \cup [14, \infty), {y | y \leq 2, y \geq 14}$

Etapa 13