Matemática discreta Exemplos

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

Etapa 1

Subtraia ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ dos dois lados da equação.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ como $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

Etapa 3.2

Expanda $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Etapa 3.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Etapa 3.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{3 x}{4}$ e $\frac{3 x}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

Etapa 3.6.2

Subtraia $9$ de $25$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

Etapa 3.6.3

Divida $16$ por $16$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Etapa 3.7

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Etapa 3.8

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine $- x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Etapa 3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Fatore $x$ de $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Fatore $x$ de $- x^{2} \cdot 2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

Etapa 3.9.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

Etapa 3.9.1.3

Fatore $x$ de $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

Etapa 3.10

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

Etapa 3.10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Etapa 3.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Etapa 3.11.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Mova $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

Etapa 3.11.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

Etapa 3.11.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x + 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

Etapa 3.12

Reescreva $\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.13

Multiplique $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.14

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Multiplique $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.14.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.14.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.14.5

Some $1$ e $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.14.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.14.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.14.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.14.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.14.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.14.6.5

Avalie o expoente.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.15

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.16

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Etapa 4.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Etapa 4.4

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Resolva $- 2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 6.2.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $- 36$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $- 50$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2, \frac{1}{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Etapa 8

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Etapa 9

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Intervalo: $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Etapa 10