Matemática discreta Exemplos

$r (x) = 400 x$ , $c (x) = x^{2} - 100 x + 3000$

Etapa 1

Substitua os designadores de função pelas funções reais em $\frac{r (x)}{c (x)}$ .

$\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$

Etapa 2

Defina o denominador em $\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 100 x + 3000 = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 100$ e $c = 3000$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3000)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.3

Subtraia $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $- 2000$ como $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2000)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.7

Reescreva $2000$ como $20^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.7.1

Fatore $400$ de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.7.2

Reescreva $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.9

Mova $20$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Subtraia $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva $- 2000$ como $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2000)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.7

Reescreva $2000$ como $20^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.7.1

Fatore $400$ de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.7.2

Reescreva $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.9

Mova $20$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Etapa 3.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Subtraia $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $- 2000$ como $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2000)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.7

Reescreva $2000$ como $20^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.7.1

Fatore $400$ de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.7.2

Reescreva $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.9

Mova $20$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Etapa 3.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 50 - 10 i \sqrt{5}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}, 50 - 10 i \sqrt{5}$

Etapa 4

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 5