Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre o quociente das funções.

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Etapa 1.1

Substitua os designadores de função pelas funções reais em $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Etapa 1.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Etapa 1.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ como $(2 + x) (2 - x)$ .

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Etapa 1.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ como ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Etapa 1.2.3.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 1.2.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 2

Defina o radicando em $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3

Defina $2 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.4

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 3.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 3.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.7.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Etapa 3.7.1.3

O lado esquerdo $48$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.7.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 3.7.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Etapa 3.7.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.7.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 3.7.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Etapa 3.7.3.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.7.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.7.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.7.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Etapa 3.7.4.3

O lado esquerdo $- 48$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.7.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 3.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $0 \leq x \leq 2$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 5.2

Defina $2 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.3

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 5.4

A solução final são todos os valores que tornam $(2 + x) (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Etapa 7