Matemática discreta Exemplos

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $9$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Etapa 2.2.2

Some $81$ e $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Etapa 3.2.3

Some $81$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Etapa 4.2.3

Some $81$ e $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Fatore $9$ de $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $105$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $3$ de $105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $145$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva $1450$ como $5^{2} \cdot 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $25$ de $1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Etapa 6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $35$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $5$ de $35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{7}{\sqrt{58}}$ por $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Etapa 6.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Multiplique $\frac{7}{\sqrt{58}}$ por $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Etapa 6.6.2

Eleve $\sqrt{58}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Etapa 6.6.3

Eleve $\sqrt{58}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Etapa 6.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.6.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Etapa 6.6.6

Reescreva ${\sqrt{58}}^{2}$ como $58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{58}$ como $58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Etapa 6.6.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Etapa 6.7

Avalie $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$