Matemática discreta Exemplos

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

9

$9$ por

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

8

$8$ por

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Etapa 2.2.2

Some

81

$81$ e

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Etapa 3

Encontre a magnitude de

a⃗

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve

9

$9$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve

8

$8$ à potência de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Etapa 3.2.3

Some

81

$81$ e

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

b⃗

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

9

$9$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve

3

$3$ à potência de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Etapa 4.2.3

Some

81

$81$ e

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Etapa 4.2.4

Reescreva

90

$90$ como

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Fatore

9

$9$ de

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de

105

$105$ e

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore

3

$3$ de

105

$105$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore

3

$3$ de

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique

$145$ por

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva

$1450$ como

$5^{2} \cdot 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore

$25$ de

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva

$25$ como

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Etapa 6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de

$35$ e

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore

$5$ de

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Fatore

$5$ de

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Etapa 6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Etapa 6.5

Multiplique

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ por

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Etapa 6.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Multiplique

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ por

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Etapa 6.6.2

Eleve

$\sqrt{58}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Etapa 6.6.3

Eleve

$\sqrt{58}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Etapa 6.6.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.6.5

Some

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Etapa 6.6.6

Reescreva

${\sqrt{58}}^{2}$ como

$58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{58}$ como

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.6.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Etapa 6.6.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Etapa 6.7

Avalie

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$