Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 14 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = x^{2} + 2 x - 14$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5

Some $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.3

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $4 (- x + 3) (x + 5)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Some $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.3

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4 (- x + 3) (x + 5)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Some $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.3

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $4 (- x + 3) (x + 5)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Etapa 7

A equação em questão $y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}, 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$ não pode ser escrita como $y = k x$ . Portanto, $y$ não varia diretamente com $x$ .

$y$ não varia diretamente com $x$