Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

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Etapa 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 1.2

Find the determinant.

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Etapa 1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 7 \cdot 5$

Etapa 1.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 - 7 \cdot 5$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $5$ .

$36 - 35$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $35$ de $36$ .

$1$

Etapa 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Etapa 1.5

Divida $1$ por $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Etapa 1.6

Multiplique $1$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 1.7

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 1.7.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 1.7.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 1.7.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Etapa 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 3

Simplifique a equação.

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Etapa 3.1

Multiplique $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

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Etapa 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Etapa 3.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 12 \cdot 3 - 5 \cdot 7 & 12 \cdot 5 - 5 \cdot 12 \\ - 7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & - 7 \cdot 5 + 3 \cdot 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

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Etapa 3.3.1

Etapa 3.3.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} 12 \cdot 2 - 5 \cdot 3 & 12 \cdot - 1 - 5 \cdot 2 \\ - 7 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 7 \cdot - 1 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$x = [\begin{array}{c} 9 & - 22 \\ - 5 & 13 \end{array}]$