Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Uma função racional é qualquer função que pode ser escrita como a razão de duas funções polinomiais, em que o denominador não é $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ é uma função racional

Etapa 2

Uma função racional é própria quando o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Caso contrário, é imprópria.

Grau do numerador menor do que o grau do denominador implica uma função própria

Grau do numerador maior do que o grau do denominador implica uma função imprópria

Grau do numerador igual ao grau do denominador implica uma função imprópria

Etapa 3

Encontre o grau do numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique e reordene o polinômio.

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Etapa 3.1.1

Use o teorema binomial.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.3

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.4.1

Mova $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

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Etapa 3.1.2.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.9

Multiplique $9$ por $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.1.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Etapa 3.2

O maior expoente é o grau do polinômio.

$3$

Etapa 4

Encontre o grau do denominador.

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Etapa 4.1

Simplifique e reordene o polinômio.

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Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Etapa 4.1.3.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Etapa 4.2

O maior expoente é o grau do polinômio.

$4$

Etapa 5

O grau do numerador $3$ é menor do que o grau do denominador $4$ .

$3 < 4$

Etapa 6

O grau do numerador é menor do que o grau do denominador, ou seja, $f (x)$ é uma função própria.

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