Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Etapa 1

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Calcular $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Etapa 3.1

Remova os parênteses.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Etapa 3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 4

Calcular $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

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Etapa 4.1

Remova os parênteses.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Etapa 4.3

Some $4$ e $2$ .

$f (2) = 6$

Etapa 5

Como $0$ está no intervalo $[0, 6]$ , resolva a equação $x$ na raiz definindo $y$ como $0$ em $y = x^{2} + x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 5.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 6

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[0, 6]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[- 1, 2]$ .

As raízes no intervalo $[- 1, 2]$ estão localizados em $x = 0, x = - 1$ .

Etapa 7