Matemática discreta Exemplos

$y = 64 - x^{2}$ , $[- 8, 8]$

Etapa 1

Reordene $64$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 64$

Etapa 2

Segundo o teorema do valor intermediário, se $f$ for uma função contínua com valor real no intervalo $[a, b]$ e $u$ for um número entre $f (a)$ e $f (b)$ , então haverá $c$ contido no intervalo $[a, b]$ , de forma que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Calcular $f (a) = f (- 8) = - {(- 8)}^{2} + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$f (- 8) = - 64 + 64$

Etapa 4.2

Some $- 64$ e $64$ .

$f (- 8) = 0$

Etapa 5

Calcular $f (b) = f (8) = - {(8)}^{2} + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$f (8) = - 64 + 64$

Etapa 5.2

Some $- 64$ e $64$ .

$f (8) = 0$

Etapa 6

Como $0$ está no intervalo $[0, 0]$ , resolva a equação $x$ na raiz definindo $y$ como $0$ em $y = - x^{2} + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- x^{2} + 64 = 0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 64$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Etapa 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Etapa 6.5

Simplifique $\pm \sqrt{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 6.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

Etapa 6.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 6.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 6.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 7

Segundo o teorema do valor intermediário, existe uma raiz $f (c) = 0$ no intervalo $[0, 0]$ , porque $f$ é uma função contínua em $[- 8, 8]$ .

As raízes no intervalo $[- 8, 8]$ estão localizados em $x = 8, x = - 8$ .

Etapa 8