Matemática discreta Exemplos

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 4

Fatore.

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Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Etapa 5

Fatore $- x^{3} + 2 x + 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 5.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

Etapa 5.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Etapa 5.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 + 1$

Etapa 5.3.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Etapa 5.3.6

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

Etapa 5.5

Divida $- x^{3} + 2 x + 1$ por $x + 1$ .

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Etapa 5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Etapa 5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

Etapa 5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Etapa 5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Etapa 5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Etapa 5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Etapa 5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Etapa 5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + x + 1$

Etapa 5.6

Escreva $- x^{3} + 2 x + 1$ como um conjunto de fatores.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Etapa 6

Fatore $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Etapa 6.2

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

Etapa 7

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Etapa 8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 8.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Etapa 8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Etapa 8.2

Some $2$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Etapa 9

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Etapa 10

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Etapa 11

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$