Matemática discreta Exemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Etapa 1.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log_{b} (16)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (16)}{2} - \log_{b} (8)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- \log_{b} (8)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} - \log_{b} (8) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $- \log_{b} (8)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{- \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Etapa 1.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.1.1

Fatore $\log_{b} (8)$ de $2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3$ .

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Etapa 1.1.4.1.1.1

Fatore $\log_{b} (8)$ de $2 \log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Etapa 1.1.4.1.1.2

Fatore $\log_{b} (8)$ de $- \log_{b} (8) \cdot 3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)}{3}$

Etapa 1.1.4.1.1.3

Fatore $\log_{b} (8)$ de $\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 1 \cdot 3)}{3}$

Etapa 1.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 3)}{3}$

Etapa 1.1.4.1.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot - 1}{3}$

Etapa 1.1.4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{- 1 \cdot \log_{b} (8)}{3}$

Etapa 1.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ por $6$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $6$ para a esquerda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (16) \cdot 3 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\log_{b} (16)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (16) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\log_{b} (8)}{3}$ para o numerador.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 2.3.1.3.3

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 2.3.1.3.4

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - \log_{b} (8) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $6 \log_{b} (x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique $3 \log_{b} (16)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16^{3}) - 2 \log_{b} (8)$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $16$ à potência de $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - 2 \log_{b} (8)$

Etapa 4.1.1.3

Simplifique $- 2 \log_{b} (8)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (8^{2})$

Etapa 4.1.1.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (64)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096}{64})$

Etapa 4.1.3

Divida $4096$ por $64$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{6} = 64$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Etapa 6.2

Simplifique $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $64$ como $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$