Matemática discreta Exemplos

${(2 x - 5 y)}^{3}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(2 x - 5 y)}^{3}$ , $n = 3$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $4$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $2 x$ e $b$ $- 5 y$ na expressão.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(2 x)}^{3}$ por $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $- 5 y$ .

$8 x^{3} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \cdot {(- 5)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.9

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.12

Multiplique $4$ por $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.13

Simplifique.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 5 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 5 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.15

Multiplique $12$ por $- 5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.16

Simplifique.

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.17

Multiplique $2$ por $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.18

Aplique a regra do produto a $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.19

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot {(- 5)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.20

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot 25 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.21

Multiplique $6$ por $25$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.24

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.25

Multiplique $x^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.26

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.27

Multiplique ${(- 5 y)}^{3}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5 y)}^{3}$

Etapa 4.28

Aplique a regra do produto a $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5)}^{3} y^{3}$

Etapa 4.29

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$