Matemática discreta Exemplos

${(2 k + 1)}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1

Mova ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Multiplique ${(1)}^{0}$ por $1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.1.3

Some $0$ e $1$ .

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.2

Simplifique $1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}$ .

${(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $2 k$ .

$2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.5

Aplique a regra do produto a $2 k$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.8

Avalie o expoente.

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.9

Multiplique $12$ por $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.10

Simplifique.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.13

Multiplique $6$ por $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Etapa 4.14

Multiplique $1$ por ${(1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.14.1

Mova ${(1)}^{3}$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}$

Etapa 4.14.2

Multiplique ${(1)}^{3}$ por $1$ .

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Etapa 4.14.2.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Etapa 4.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Etapa 4.14.3

Some $3$ e $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

Etapa 4.15

Simplifique $1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}$

Etapa 4.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$