Matemática discreta Exemplos

${(1 + j)}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(1)}^{3 - k} \cdot {(j)}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{3 - 0} \cdot {(j)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{3 - 1} \cdot {(j)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{3 - 2} \cdot {(j)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{3 - 3} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{1 + 3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Some $1$ e $3$ .

$1^{4} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.2

Simplifique $1^{4} \cdot {(j)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.6

Simplifique.

$1 + 3 \cdot j + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.7

Avalie o expoente.

$1 + 3 j + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 j + 3 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.9

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1 + 0} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.9.2

Some $1$ e $0$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(j)}^{3}$

Etapa 4.10

Simplifique $1^{1} \cdot {(j)}^{3}$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + j^{3}$