Matemática discreta Exemplos

{(1 + i)}^{4}

${(1 + i)}^{4}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial,

{(a + b)}^{n} = n \sum k = 0 n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

4 \sum k = 0 \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4

Simplifique o resultado polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

$1$ por

${(1)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Multiplique

$1$ por

${(1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Eleve

$1$ à potência de

$1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{1 + 4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.1.2

Some

$1$ e

$4$ .

$1^{5} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique

$1^{5} \cdot {(i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.5

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$1 + 4 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

$1 + 4 \cdot i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.8

Multiplique

$6$ por

$1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.9

Reescreva

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.10

Multiplique

$6$ por

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.11

Avalie o expoente.

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.12

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.13

Fatore

$i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (i^{2} \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.14

Reescreva

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- 1 \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.15

Reescreva

$- 1 i$ como

$- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.16

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.17

Multiplique

$1$ por

${(1)}^{0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.1

Multiplique

$1$ por

${(1)}^{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.1.1

Eleve

$1$ à potência de

$1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.17.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1 + 0} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.17.2

Some

$1$ e

$0$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.18

Simplifique

$1^{1} \cdot {(i)}^{4}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i)}^{4}$

Etapa 4.1.19

Reescreva

$i^{4}$ como

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.1

Reescreva

$i^{4}$ como

${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Etapa 4.1.19.2

Reescreva

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.1.19.3

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Etapa 4.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia

$6$ de

$1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Etapa 4.2.2

Some

$- 5$ e

$1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Etapa 4.2.3

Subtraia

$4 i$ de

$4 i$ .

$- 4 + 0$

Etapa 4.2.4

Some

$- 4$ e

$0$ .

$- 4$