Matemática discreta Exemplos

2 x + 2 y = 3

$2 x + 2 y = 3$ ,

- x + 2 y = 1

$- x + 2 y = 1$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é

y = m x + b

$y = m x + b$ , em que

m

$m$ é a inclinação e

b

$b$ é a intersecção com o eixo y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Subtraia

2 x

$2 x$ dos dois lados da equação.

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$ por

2

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$ por

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum de

$- 2$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Fatore

$2$ de

$- 2 x$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 1.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{1}$

Etapa 1.3.3.1.2.4

Divida

$- x$ por

$1$ .

$y = \frac{3}{2} - x$

Etapa 1.4

Reordene

$\frac{3}{2}$ e

$- x$ .

$y = - x + \frac{3}{2}$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é

$- 1$ .

$m_{1} = - 1$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é

$y = m x + b$ , em que

$m$ é a inclinação e

$b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Some

$x$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1 + x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em

$2 y = 1 + x$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em

$2 y = 1 + x$ por

$2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.4

Escreva na forma

$y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene

$\frac{1}{2}$ e

$\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é

$\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$2 x + 2 y = 3, - x + 2 y = 1$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva

$x$ em

$2 x + 2 y = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Subtraia

$2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x = 3 - 2 y$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2

Divida cada termo em

$2 x = 3 - 2 y$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida cada termo em

$2 x = 3 - 2 y$ por

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Cancele o fator comum de

$- 2$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.1

Fatore

$2$ de

$- 2 y$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2} + \frac{- y}{1}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.4

Divida

$- y$ por

$1$ .

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de

$x$ por

$\frac{3}{2} - y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de

$x$ em

$- x + 2 y = 1$ por

$\frac{3}{2} - y$ .

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique

$- - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Multiplique

$y$ por

$1$ .

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.2

Some

$y$ e

$2 y$ .

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3

Resolva

$y$ em

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm

$y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Some

$\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$3 y = 1 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.2

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 y = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 y = \frac{2 + 3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.4

Some

$2$ e

$3$ .

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em

$3 y = \frac{5}{2}$ por

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em

$3 y = \frac{5}{2}$ por

$3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3.2

Multiplique

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.2.1

Multiplique

$\frac{5}{2}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{5}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3.2.2

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de

$y$ por

$\frac{5}{6}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de

$y$ em

$x = \frac{3}{2} - y$ por

$\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique

$\frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Para escrever

$\frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Multiplique

$\frac{3}{2}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.4.1

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.4.2

Subtraia

$5$ de

$9$ .

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5

Cancele o fator comum de

$4$ e

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Fatore

$2$ de

$4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.2.1

Fatore

$2$ de

$6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = - 1$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Etapa 8