Matemática discreta Exemplos

$2 x + 2 y = 3$ , $- x + 2 y = 1$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y = 3 - 2 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $2 y = 3 - 2 x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $2 y = 3 - 2 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 1.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{1}$

Etapa 1.3.3.1.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} - x$

Etapa 1.4

Reordene $\frac{3}{2}$ e $- x$ .

$y = - x + \frac{3}{2}$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $- 1$ .

$m_{1} = - 1$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1 + x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 y = 1 + x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 y = 1 + x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Etapa 3.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $\frac{1}{2}$ e $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$2 x + 2 y = 3, - x + 2 y = 1$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva $x$ em $2 x + 2 y = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x = 3 - 2 y$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2

Divida cada termo em $2 x = 3 - 2 y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3 - 2 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2} + \frac{- y}{1}$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.1.2.3.1.2.4

Divida $- y$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $\frac{3}{2} - y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $- x + 2 y = 1$ por $\frac{3}{2} - y$ .

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $- (\frac{3}{2} - y) + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $- - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.2.2.1.2

Some $y$ e $2 y$ .

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3

Resolva $y$ em $- \frac{3}{2} + 3 y = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Some $\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$3 y = 1 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 y = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 y = \frac{2 + 3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.1.4

Some $2$ e $3$ .

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $3 y = \frac{5}{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $3 y = \frac{5}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3.2

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{5}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.3.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $\frac{5}{6}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = \frac{3}{2} - y$ por $\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $\frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Para escrever $\frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.4.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = - 1$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Etapa 8