Matemática discreta Exemplos

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Some $7 x$ aos dois lados da equação.

$3 y = 4 + 7 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $3 y = 4 + 7 x$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $3 y = 4 + 7 x$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Etapa 1.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene $\frac{4}{3}$ e $\frac{7 x}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 5 y = 24 - 4 x$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 5 y = 24 - 4 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Etapa 3.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $- \frac{24}{5}$ e $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva $x$ em $- 7 x + 3 y = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.1.2

Divida cada termo em $- 7 x = 4 - 3 y$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida cada termo em $- 7 x = 4 - 3 y$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $4 x - 5 y = 24$ por $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $4 (- \frac{4}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Multiplique $4 \frac{3 y}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Combine $4$ e $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $- 5 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.3

Combine $- 5 y$ e $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.6

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.7

Subtraia $35 y$ de $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.8

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.9

Fatore $- 1$ de $- 23 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.10

Fatore $- 1$ de $- 1 (16) - (23 y)$ .

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.2.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3

Resolva $y$ em $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16 + 23 y}{7}$ para o numerador.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.1.1.1.2

Fatore $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Multiplique $16 + 23 y$ por $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique $- 7$ por $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.3.2

Subtraia $16$ de $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.4

Divida cada termo em $23 y = - 184$ por $23$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Divida cada termo em $23 y = - 184$ por $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.1

Divida $- 184$ por $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 8$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ por $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Etapa 6.4.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Subtraia $24$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Etapa 6.4.2.1.2.3

Divida $- 28$ por $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 4, - 8)$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Etapa 8