Matemática discreta Exemplos

$4 x + 5 y = 8$ , $5 x - 4 y = 2$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$5 y = 8 - 4 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $5 y = 8 - 4 x$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $5 y = 8 - 4 x$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{8}{5} - \frac{4 x}{5}$

Etapa 1.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene $\frac{8}{5}$ e $- \frac{4 x}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{8}{5}$

Etapa 1.4.3

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5}$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $- \frac{4}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = 2 - 5 x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 4 y = 2 - 5 x$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 4 y = 2 - 5 x$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{5 x}{4}$

Etapa 3.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $- \frac{1}{2}$ e $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{5}{4} x - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{5}{4}$ .

$m_{2} = \frac{5}{4}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$4 x + 5 y = 8, 5 x - 4 y = 2$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva $x$ em $4 x + 5 y = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Subtraia $5 y$ dos dois lados da equação.

$4 x = 8 - 5 y$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.1.2

Divida cada termo em $4 x = 8 - 5 y$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida cada termo em $4 x = 8 - 5 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1.1

Divida $8$ por $4$ .

$x = 2 + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $2 - \frac{5 y}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $5 x - 4 y = 2$ por $2 - \frac{5 y}{4}$ .

$5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \cdot 2 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Multiplique $5 (- \frac{5 y}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$10 - 5 \frac{5 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Combine $- 5$ e $\frac{5 y}{4}$ .

$10 + \frac{- 5 (5 y)}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $- 4 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y \cdot \frac{4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Combine $- 4 y$ e $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} + \frac{- 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1.1

Fatore $y$ de $- 25 y - 4 y \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.1

Fatore $y$ de $- 25 y$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.2

Fatore $y$ de $- 4 y \cdot 4$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 16)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.3

Subtraia $16$ de $- 25$ .

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Mova $- 41$ para a esquerda de $y$ .

$10 + \frac{- 41 \cdot y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3

Resolva $y$ em $10 - \frac{41 y}{4} = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$- \frac{41 y}{4} = 2 - 10$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.1.2

Subtraia $10$ de $2$ .

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.2

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{4}{41}$ .

$- \frac{4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Simplifique $- \frac{4}{41} (- \frac{41 y}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{41}$ para o numerador.

$\frac{- 4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{41 y}{4}$ para o numerador.

$\frac{- 4}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 1}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.2.1

Fatore $41$ de $- 41 y$ .

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.1.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $- \frac{4}{41} \cdot - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1.1

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$y = 8 (\frac{4}{41})$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Combine $8$ e $\frac{4}{41}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.3.3.2.1.3

Multiplique $8$ por $4$ .

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $\frac{32}{41}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 - \frac{5 y}{4}$ por $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Combine $5$ e $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{5 \cdot 32}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $32$ .

$x = 2 - \frac{\frac{160}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = 2 - (\frac{160}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.4.1

Fatore $4$ de $160$ .

$x = 2 - (\frac{4 (40)}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 40}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{41}{41}$ .

$x = 2 \cdot \frac{41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{41}{41}$ .

$x = \frac{2 \cdot 41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 \cdot 41 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $41$ .

$x = \frac{82 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Subtraia $40$ de $82$ .

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

$m_{2} = \frac{5}{4}$

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Etapa 8