Matemática discreta Exemplos

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $- 3 y = 4 - 2 x$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $- 3 y = 4 - 2 x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Etapa 1.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Etapa 1.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene $- \frac{4}{3}$ e $\frac{2 x}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 5 y = 2 - 3 x$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 5 y = 2 - 3 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Etapa 3.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $- \frac{2}{5}$ e $\frac{3 x}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva $x$ em $2 x - 3 y = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Etapa 6.1.2

Divida cada termo em $2 x = 4 + 3 y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida cada termo em $2 x = 4 + 3 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $2 + \frac{3 y}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $3 x - 5 y = 2$ por $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Multiplique $3 \frac{3 y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Combine $3$ e $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $- 5 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Combine $- 5 y$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1.1

Fatore $y$ de $9 y - 5 y \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.1

Fatore $y$ de $9 y$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.2

Fatore $y$ de $- 5 y \cdot 2$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ .

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.3

Subtraia $10$ de $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.2.2.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3

Resolva $y$ em $6 - \frac{y}{2} = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.1.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $8$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ por $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $24$ por $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Etapa 6.4.2.1.3

Some $2$ e $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(14, 8)$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Etapa 8