Matemática discreta Exemplos

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Etapa 1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$5 y = 10 - 2 x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $5 y = 10 - 2 x$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $5 y = 10 - 2 x$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Divida $10$ por $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Etapa 1.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Etapa 1.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene $2$ e $- \frac{2 x}{5}$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Etapa 1.4.3

Remova os parênteses.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Etapa 2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Etapa 3

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 3 y = 3 - x$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 3 y = 3 - x$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 3 y = 3 - x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Divida $3$ por $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Etapa 3.4

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $- 1$ e $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 1$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Etapa 4

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 5

Estabeleça o sistema de equações para encontrar os pontos de intersecção.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Etapa 6

Resolva o sistema de equações para encontrar o ponto de intersecção.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $3 + 3 y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $2 x + 5 y = 10$ por $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.2.2.1.2

Some $6 y$ e $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.3

Resolva $y$ em $6 + 11 y = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.3.1.2

Subtraia $6$ de $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $11 y = 4$ por $11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $11 y = 4$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Etapa 6.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $\frac{4}{11}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 3 + 3 y$ por $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique $3 (\frac{4}{11})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Combine $3$ e $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Multiplique $3$ por $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Some $33$ e $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Etapa 6.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Etapa 7

Como as inclinações são diferentes, as retas terão exatamente um ponto de intersecção.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Etapa 8