Matemática discreta Exemplos

$M = [\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$2 - 6$

Etapa 2.2.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 4$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $- \frac{1}{4}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{1}{4}) & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.2

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 3 (\frac{1}{4}) \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.3.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.3.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.3.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.4

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.6.2

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 \end{array}]$

Etapa 7.6.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Etapa 7.6.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Etapa 7.6.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

Etapa 7.7

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- - 1}{2} \end{array}]$

Etapa 7.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$