Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ z y & x z & x y \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} | + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 2

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$ .

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Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 (x y) - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $x y$ por $1$ .

$- x (x y - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$ .

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Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x y - x z) + y (1 (x y) - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $x y$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$ .

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Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (1 (x z) - z y \cdot 1)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x z$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y \cdot 1)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x y) - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1

Mova $x$ .

$- x^{2} y - (x \cdot x) (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} y - x^{2} (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} y + 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y) + y (- z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.1

Mova $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y \cdot y x + y (- z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x + y (- z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y (z y) - z (x z - z y)$

Etapa 5.8

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.8.1

Mova $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - (y \cdot y) z - z (x z - z y)$

Etapa 5.8.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z - z y)$

Etapa 5.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z) - z (- z y)$

Etapa 5.10

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 5.10.1

Mova $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - (z \cdot z) x - z (- z y)$

Etapa 5.10.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z (- z y)$

Etapa 5.11

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.1

Mova $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - (z \cdot z) (- 1 y)$

Etapa 5.11.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z^{2} (- 1 y)$

Etapa 5.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - 1 \cdot - 1 z^{2} y$

Etapa 5.12.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + 1 z^{2} y$

Etapa 5.12.3

Multiplique $z^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + z^{2} y$