Matemática discreta Exemplos

$3 X = [\begin{array}{c} \frac{17}{22} & \frac{31}{110} \\ - \frac{4}{11} & \frac{16}{55} \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{17}{22} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $22$ .

$\frac{17}{2 (11)} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{17}{11} \cdot \frac{8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{17}{11}$ por $\frac{8}{55}$ .

$\frac{17 \cdot 8}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $17$ por $8$ .

$\frac{136}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $11$ por $55$ .

$\frac{136}{605} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{11}$ para o numerador.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.5.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 (- 2)}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Etapa 2.2.1.5.3

Fatore $2$ de $110$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Etapa 2.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Etapa 2.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 2}{11} \cdot \frac{31}{55})$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $\frac{- 2}{11}$ por $\frac{31}{55}$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 2 \cdot 31}{11 \cdot 55}$

Etapa 2.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $31$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{11 \cdot 55}$

Etapa 2.2.1.8

Multiplique $11$ por $55$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{605}$

Etapa 2.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{136}{605} - - \frac{62}{605}$

Etapa 2.2.1.10

Multiplique $- - \frac{62}{605}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{136}{605} + 1 (\frac{62}{605})$

Etapa 2.2.1.10.2

Multiplique $\frac{62}{605}$ por $1$ .

$\frac{136}{605} + \frac{62}{605}$

Etapa 2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{136 + 62}{605}$

Etapa 2.2.3

Some $136$ e $62$ .

$\frac{198}{605}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $198$ e $605$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $11$ de $198$ .

$\frac{11 (18)}{605}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $11$ de $605$ .

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{18}{55}$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{18}{55}} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{55}{18}) [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $\frac{55}{18}$ por $1$ .

$\frac{55}{18} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 7

Multiplique $\frac{55}{18}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $55$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (9)} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.2.2

Fatore $2$ de $16$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.2.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 8 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.3

Combine $\frac{1}{9}$ e $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $55$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{31}{110}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{110} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.4.2

Fatore $55$ de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 (2)} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.4.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.4.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{1}{18} \cdot \frac{- 31}{2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.5

Multiplique $\frac{1}{18}$ por $\frac{- 31}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{18 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.6

Multiplique $18$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Fatore $11$ de $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.8.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.8.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{18} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Fatore $2$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 (9)} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.9.2

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.9.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.9.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{9} \cdot 2 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.10

Combine $\frac{5}{9}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5 \cdot 2}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.11

Multiplique $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.12

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.12.1

Fatore $11$ de $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Etapa 8.12.2

Fatore $11$ de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 8.12.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 8.12.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5}{18} \cdot \frac{17}{2} \end{array}]$

Etapa 8.13

Multiplique $\frac{5}{18}$ por $\frac{17}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 8.14

Multiplique $5$ por $17$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 8.15

Multiplique $18$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{36} \end{array}]$