Matemática discreta Exemplos

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplique $M$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova $3$ para a esquerda de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiplique $M$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique $M$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.4

Mova $5$ para a esquerda de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

Etapa 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 4

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 M (5 M) - M \cdot M$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $M$ por $M$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Mova $M$ .

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $M$ por $M$ .

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 M^{2} - M \cdot M$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $M$ por $M$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Mova $M$ .

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

Etapa 4.2.1.4.2

Multiplique $M$ por $M$ .

$15 M^{2} - M^{2}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $M^{2}$ de $15 M^{2}$ .

$14 M^{2}$

Etapa 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{14 M^{2}}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.2

Combine $5$ e $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.3.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{14 M^{2}}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.5.2

Fatore $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.5.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.5.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{14 M^{2}}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.8.2

Fatore $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.8.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.8.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Etapa 8.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Etapa 8.11

Combine $3$ e $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Etapa 8.12

Cancele o fator comum de $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.12.1

Fatore $M$ de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Etapa 8.12.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Etapa 8.12.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$