Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 8$

Etapa 5.2.2

Subtraia $8$ de $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 6$

Etapa 5.2.3

Reordene $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 6$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 6 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Some $9$ e $24$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Forma decimal:

$λ = 4.37228132 \dots, - 1.37228132 \dots$