Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (- 1 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $- λ \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.1.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.3.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.2

Some $- λ$ e $λ$ .

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2.3

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 3 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$λ^{2} = 3$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - \sqrt{3}$

Etapa 7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$λ = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$