Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(x - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

Etapa 5.2.2

Mova $- 2 λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

Etapa 5.2.3

Mova $2 x$ .

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - x - 2$ e $c = 2 x - 12$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva ${(- x - 2)}^{2}$ como $(- x - 2) (- x - 2)$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Expanda $(- x - 2) (- x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.3.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.3.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.9

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.10

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.11

Subtraia $8 x$ de $4 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.12

Some $4$ e $48$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$