Matemática discreta Exemplos

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

Etapa 1

Encontre a média.

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Etapa 1.1

A média de um conjunto de números é a soma dividida pelo número de termos.

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $2$ e $6$ .

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.2

Some $8$ e $7$ .

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.3

Some $15$ e $8$ .

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.4

Some $23$ e $11$ .

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.5

Some $34$ e $11$ .

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.6

Some $45$ e $11$ .

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.7

Some $56$ e $12$ .

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.8

Some $68$ e $12$ .

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.9

Some $80$ e $13$ .

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

Etapa 1.2.10

Some $93$ e $13$ .

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

Etapa 1.2.11

Some $106$ e $14$ .

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

Etapa 1.3

Divida $120$ por $12$ .

$\overline{x} = 10$

Etapa 2

Simplifique cada valor na lista.

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Etapa 2.1

Converta $2$ em um valor decimal.

$2$

Etapa 2.2

Converta $6$ em um valor decimal.

$6$

Etapa 2.3

Converta $7$ em um valor decimal.

$7$

Etapa 2.4

Converta $8$ em um valor decimal.

$8$

Etapa 2.5

Converta $11$ em um valor decimal.

$11$

Etapa 2.6

Converta $12$ em um valor decimal.

$12$

Etapa 2.7

Converta $13$ em um valor decimal.

$13$

Etapa 2.8

Converta $14$ em um valor decimal.

$14$

Etapa 2.9

Os valores simplificados são $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ .

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

Etapa 3

Estabeleça a fórmula do desvio padrão da amostra. O desvio padrão de um conjunto de valores é uma medida da propagação de seus valores.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Etapa 4

Estabeleça a fórmula do desvio padrão para este conjunto de números.

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.1

Subtraia $10$ de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.3

Subtraia $10$ de $6$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.5

Subtraia $10$ de $7$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.6

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.7

Subtraia $10$ de $8$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.9

Subtraia $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.11

Subtraia $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.13

Subtraia $10$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.15

Subtraia $10$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.17

Subtraia $10$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.19

Subtraia $10$ de $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.20

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.21

Subtraia $10$ de $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.22

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.23

Subtraia $10$ de $14$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

Etapa 5.24

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.25

Some $64$ e $16$ .

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.26

Some $80$ e $9$ .

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.27

Some $89$ e $4$ .

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.28

Some $93$ e $1$ .

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.29

Some $94$ e $1$ .

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.30

Some $95$ e $1$ .

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.31

Some $96$ e $4$ .

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.32

Some $100$ e $4$ .

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.33

Some $104$ e $9$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.34

Some $113$ e $9$ .

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

Etapa 5.35

Some $122$ e $16$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

Etapa 5.36

Subtraia $1$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

Etapa 5.37

Reescreva $\sqrt{\frac{138}{11}}$ como $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

Etapa 5.38

Multiplique $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Etapa 5.39

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.39.1

Multiplique $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Etapa 5.39.2

Eleve $\sqrt{11}$ à potência de $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Etapa 5.39.3

Eleve $\sqrt{11}$ à potência de $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Etapa 5.39.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.39.5

Some $1$ e $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Etapa 5.39.6

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Etapa 5.39.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.39.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.39.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.39.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.39.6.4.1

Cancele o fator comum.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.39.6.4.2

Reescreva a expressão.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Etapa 5.39.6.5

Avalie o expoente.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Etapa 5.40

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.40.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

Etapa 5.40.2

Multiplique $138$ por $11$ .

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

Etapa 6

O desvio padrão deve ser arredondado para uma casa decimal a mais do que os dados originais. Se os dados originais forem misturados, arredonde para uma casa decimal a mais do que a menos precisa.

$3.5$