Matemática discreta Exemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 18 & 0.2 \\ 19 & 0.1 \\ 20 & 0.3 \\ 21 & 0.2 \\ 22 & 0.2 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

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Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta $x$ usa um conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade $P (x)$ para cada valor possível $x$ . Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ é igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.3

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.4

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.5

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.6

Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.7

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ .

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de $x$ é $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

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Etapa 1.8.1

Some $0.2$ e $0.1$ .

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8.2

Some $0.3$ e $0.3$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Etapa 1.8.3

Some $0.6$ e $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Etapa 1.8.4

Some $0.8$ e $0.2$ .

$1$

Etapa 1.9

Para cada $x$ , a probabilidade de $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os $x$ possíveis é igual a $1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

$u = 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique $18$ por $0.2$ .

$u = 3.6 + 19 \cdot 0.1 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Etapa 3.2

Multiplique $19$ por $0.1$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Etapa 3.3

Multiplique $20$ por $0.3$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Etapa 3.4

Multiplique $21$ por $0.2$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 4.2 + 22 \cdot 0.2$

Etapa 3.5

Multiplique $22$ por $0.2$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 4.2 + 4.4$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some $3.6$ e $1.9$ .

$u = 5.5 + 6 + 4.2 + 4.4$

Etapa 4.2

Some $5.5$ e $6$ .

$u = 11.5 + 4.2 + 4.4$

Etapa 4.3

Some $11.5$ e $4.2$ .

$u = 15.7 + 4.4$

Etapa 4.4

Some $15.7$ e $4.4$ .

$u = 20.1$

Etapa 5

A variância de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual ao quadrado do desvio padrão.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

${(18 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $20.1$ .

${(18 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.2

Subtraia $20.1$ de $18$ .

${(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.3

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$4.41 \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.4

Multiplique $4.41$ por $0.2$ .

$0.882 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.5

Multiplique $- 1$ por $20.1$ .

$0.882 + {(19 - 20.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.6

Subtraia $20.1$ de $19$ .

$0.882 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.7

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$0.882 + 1.21 \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.8

Multiplique $1.21$ por $0.1$ .

$0.882 + 0.121 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.9

Multiplique $- 1$ por $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + {(20 - 20.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.10

Subtraia $20.1$ de $20$ .

$0.882 + 0.121 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.11

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.01 \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.12

Multiplique $0.01$ por $0.3$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.13

Multiplique $- 1$ por $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {(21 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.14

Subtraia $20.1$ de $21$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {0.9}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.15

Eleve $0.9$ à potência de $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.81 \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.16

Multiplique $0.81$ por $0.2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.17

Multiplique $- 1$ por $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {(22 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.18

Subtraia $20.1$ de $22$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {1.9}^{2} \cdot 0.2$

Etapa 7.1.19

Eleve $1.9$ à potência de $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + 3.61 \cdot 0.2$

Etapa 7.1.20

Multiplique $3.61$ por $0.2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + 0.722$

Etapa 7.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.2.1

Some $0.882$ e $0.121$ .

$1.003 + 0.003 + 0.162 + 0.722$

Etapa 7.2.2

Some $1.003$ e $0.003$ .

$1.006 + 0.162 + 0.722$

Etapa 7.2.3

Some $1.006$ e $0.162$ .

$1.168 + 0.722$

Etapa 7.2.4

Some $1.168$ e $0.722$ .

$1.89$