Matemática discreta Exemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 3 & 0.1 \\ 0 & 0.2 \\ 2 & 0.3 \\ 4 & 0.1 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

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Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta $x$ usa um conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade $P (x)$ para cada valor possível $x$ . Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ é igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.3

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.4

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.5

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.6

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.7

Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.8

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ .

$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Etapa 1.9

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de $x$ é $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

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Etapa 1.9.1

Some $0.3$ e $0.1$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Etapa 1.9.2

Some $0.4$ e $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

Etapa 1.9.3

Some $0.6$ e $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

Etapa 1.9.4

Some $0.9$ e $0.1$ .

$1$

Etapa 1.10

Para cada $x$ , a probabilidade de $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os $x$ possíveis é igual a $1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

$u = 1 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique $0.3$ por $1$ .

$u = 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Etapa 3.3

Multiplique $0$ por $0.2$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $0.3$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 4 \cdot 0.1$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 0.4$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some $0.3$ e $0.3$ .

$u = 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

Etapa 4.2

Some $0.6$ e $0$ .

$u = 0.6 + 0.6 + 0.4$

Etapa 4.3

Some $0.6$ e $0.6$ .

$u = 1.2 + 0.4$

Etapa 4.4

Some $1.2$ e $0.4$ .

$u = 1.6$

Etapa 5

A variância de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual ao quadrado do desvio padrão.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

${(1 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $1.6$ .

${(1 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.2

Subtraia $1.6$ de $1$ .

${(- 0.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.3

Eleve $- 0.6$ à potência de $2$ .

$0.36 \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $0.36$ por $0.3$ .

$0.108 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.5

Multiplique $- 1$ por $1.6$ .

$0.108 + {(3 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.6

Subtraia $1.6$ de $3$ .

$0.108 + {1.4}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.7

Eleve $1.4$ à potência de $2$ .

$0.108 + 1.96 \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.8

Multiplique $1.96$ por $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.9

Multiplique $- 1$ por $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.10

Subtraia $1.6$ de $0$ .

$0.108 + 0.196 + {(- 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.11

Eleve $- 1.6$ à potência de $2$ .

$0.108 + 0.196 + 2.56 \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.12

Multiplique $2.56$ por $0.2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.13

Multiplique $- 1$ por $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.14

Subtraia $1.6$ de $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {0.4}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.15

Eleve $0.4$ à potência de $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.16 \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.16

Multiplique $0.16$ por $0.3$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.17

Multiplique $- 1$ por $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.18

Subtraia $1.6$ de $4$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {2.4}^{2} \cdot 0.1$

Etapa 7.1.19

Eleve $2.4$ à potência de $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 5.76 \cdot 0.1$

Etapa 7.1.20

Multiplique $5.76$ por $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Etapa 7.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.2.1

Some $0.108$ e $0.196$ .

$0.304 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Etapa 7.2.2

Some $0.304$ e $0.512$ .

$0.816 + 0.048 + 0.576$

Etapa 7.2.3

Some $0.816$ e $0.048$ .

$0.864 + 0.576$

Etapa 7.2.4

Some $0.864$ e $0.576$ .

$1.44$