Matemática discreta Exemplos

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

Etapa 1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

Etapa 2

Resolva $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ para $θ$ .

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Etapa 2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (θ)$ .

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.2

Separe as frações.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.3

Converta de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ em $\tan (θ)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2.5.2

Divida $4$ por $1$ .

$4 \tan (θ) = 4$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $4 \tan (θ) = 4$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $4 \tan (θ) = 4$ por $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.6.2.1.2

Divida $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$\tan (θ) = 1$

Etapa 2.7

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (1)$

Etapa 2.8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 2.9

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Etapa 2.10

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 2.10.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.10.2

Combine frações.

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Etapa 2.10.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 2.10.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 2.10.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 2.11

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 2.11.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.11.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.11.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.12

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Avalie $r$ quando $θ = \frac{π}{4} + π n$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{π}{4} + π n$ por $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Etapa 3.2

Remova os parênteses.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Etapa 4

Avalie $r$ quando $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{5 π}{4} + π n$ por $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Etapa 4.2

Remova os parênteses.

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Etapa 5

A solução do sistema de equações compreende todos os valores que tornam o sistema verdadeiro.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

Etapa 6

Liste todas as soluções.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$