Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $- 5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Subtraia $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.4.1.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.4.3

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

Etapa 5.2.2

Reordene $3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 10$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $40$ de $9$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva $- 31$ como $- 1 (31)$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (31)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$