Matemática discreta Exemplos

${(\frac{2}{3})}^{3 x - 1} > 1$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1}) > \ln (1)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1})$ movendo $3 x - 1$ para fora do logaritmo.

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3)) > \ln (1)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Etapa 3.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - 1 \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Etapa 3.1.3

Reescreva $- 1 \ln (\frac{2}{3})$ como $- \ln (\frac{2}{3})$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > 0$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Etapa 6

Some $\ln (\frac{2}{3})$ aos dois lados da equação.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$

Etapa 7

Divida cada termo em $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ por $3 \ln (\frac{2}{3})$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ por $3 \ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Etapa 7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{1}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{1}{3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{3})$

Etapa 10