Matemática discreta Exemplos

$z^{2} + 6 z > - 8$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$z^{2} + 6 z = - 8$

Etapa 2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$z^{2} + 6 z + 8 = 0$

Etapa 3

Fatore $z^{2} + 6 z + 8$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $6$ .

$2, 4$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(z + 2) (z + 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

$z + 4 = 0$

Etapa 5

Defina $z + 2$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 5.1

Defina $z + 2$ como igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$z = - 2$

Etapa 6

Defina $z + 4$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 6.1

Defina $z + 4$ como igual a $0$ .

$z + 4 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$z = - 4$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(z + 2) (z + 4) = 0$ verdadeiro.

$z = - 2, - 4$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$z < - 4$

$- 4 < z < - 2$

$z > - 2$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $z < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $z < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = - 6$

Etapa 9.1.2

Substitua $z$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} + 6 (- 6) > - 8$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < z < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < z < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = - 3$

Etapa 9.2.2

Substitua $z$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{2} + 6 (- 3) > - 8$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $- 9$ não é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $z > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $z > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$z = 0$

Etapa 9.3.2

Substitua $z$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 6 (0) > - 8$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$z < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < z < - 2$ Falso

$z > - 2$ Verdadeiro

$z < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < z < - 2$ Falso

$z > - 2$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$z < - 4$ ou $z > - 2$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$z < - 4 or z > - 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 12