Matemática discreta Exemplos

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 1

Remova os parênteses.

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(2 + 5 i)}^{2}$ como $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ .

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.2

Expanda $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5 i (5 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.4.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $25$ de $4$ .

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.3.3

Some $10 i$ e $10 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ pelo conjugado de $0.8660254 + 0.5 i$ para tornar o denominador real.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Etapa 2.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.2

Mova $0.8660254$ para a esquerda de $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $i (- 0.5 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $- 0.5$ por $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.2.5

Reordene $0.8660254 i$ e $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Expanda $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1

Multiplique $0.8660254$ por $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.2.2

Multiplique $- 0.5$ por $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.2.3

Multiplique $0.8660254$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Etapa 2.5.3.2.4

Multiplique $- 0.5$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Etapa 2.5.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Etapa 2.5.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Etapa 2.5.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Etapa 2.5.3.2.9

Some $- 0.4330127 i$ e $0.4330127 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Multiplique $0$ por $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Etapa 2.5.3.3.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3.3.3

Multiplique $- 0.25$ por $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Etapa 2.5.3.4

Some $0.75$ e $0$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

Etapa 2.5.3.5

Some $0.75$ e $0.25$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Etapa 2.6

Reescreva $0.5$ como $1 (0.5)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

Etapa 2.7

Fatore $1$ de $0.8660254 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

Etapa 2.8

Fatore $1$ de $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

Etapa 2.9

Fatore $1$ de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

Etapa 2.10

Separe as frações.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Etapa 2.11

Divida $1$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Etapa 2.12

Divida $0.5 + 0.8660254 i$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

Etapa 2.13

Aplique a propriedade distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Etapa 2.14

Multiplique $1$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Etapa 2.15

Multiplique $0.8660254$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Etapa 3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $- 21$ e $3$ .

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Etapa 3.2

Some $- 18$ e $0.5$ .

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

Etapa 3.3

Some $20 i$ e $4 i$ .

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

Etapa 3.4

Some $24 i$ e $0.8660254 i$ .

$- 17.5 + 24.8660254 i$