Matemática discreta Exemplos

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Etapa 2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2} - 4 x + 7$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ por $x^{2} - 4 x + 7$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ por $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 4 x + 7$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Etapa 3.3.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ .

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Etapa 4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = y$ , $b = - 4 y$ e $c = 7 y - 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.2

Deixe $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y \cdot (7 y - 5)$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 4 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.3

Fatore $4$ de $16 y^{2} - 4 u$ .

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Etapa 4.5.1.3.1

Fatore $4$ de $16 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.5.1.4.1

Mova $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.6

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.5.2

Subtraia $7 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.6

Fatore $y$ de $- 3 y^{2} + 5 y$ .

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Etapa 4.5.1.6.1

Fatore $y$ de $- 3 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.6.2

Fatore $y$ de $5 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.6.3

Fatore $y$ de $y (- 3 y) + y \cdot 5$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.7

Reescreva $4 y (- 3 y + 5)$ como $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ .

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Etapa 4.5.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.7.2

Adicione parênteses.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Etapa 4.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Etapa 4.5.2

Simplifique $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$