Matemática discreta Exemplos

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

Etapa 5

Simplifique $e^{- 1} (x - 1)$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{e}$ e $x$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 5.4

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Etapa 6

Subtraia $\frac{x}{e}$ dos dois lados da equação.

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

Etapa 7

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Etapa 8

Fatore $x$ de $x - \frac{x}{e}$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $- \frac{x}{e}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ .

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ por $1 - \frac{1}{e}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ por $1 - \frac{1}{e}$ .

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $1 - \frac{1}{e}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Etapa 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ por $\frac{e}{e}$ .

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Etapa 9.3.2.2

Combine.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

Etapa 9.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Etapa 9.3.4

Simplifique cancelando.

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Etapa 9.3.4.1

Cancele o fator comum de $e$ .

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Etapa 9.3.4.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e}$ para o numerador.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Etapa 9.3.4.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Etapa 9.3.4.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele o fator comum de $e$ .

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Etapa 9.3.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e}$ para o numerador.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

Etapa 9.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e$ .

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

Etapa 9.3.5.2

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

Etapa 9.3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 9.3.6.1

Multiplique $e$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

Etapa 9.3.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

Etapa 9.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- e$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

Etapa 9.3.6.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (e)$ .

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

Etapa 9.3.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

Etapa 10

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ verdadeira.

$Nenhuma solução$