Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Etapa 1

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 | x | = - x^{2}$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 | x | = - x^{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 | x | = - x^{2}$ por $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $| x |$ por $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{3}$ para o numerador.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$3 x = - x^{2}$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x + x^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.2

Fatore $u$ de $3 u + u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Fatore $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Etapa 6.4.2.2.2

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Etapa 6.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Etapa 6.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Etapa 6.4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4.5

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 6.4.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 + x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3$

Etapa 6.5

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 6.6

Multiplique os dois lados por $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Etapa 6.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 x = x^{2}$

Etapa 6.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x - x^{2} = 0$

Etapa 6.8.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Etapa 6.8.2.2

Fatore $u$ de $3 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1

Fatore $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Etapa 6.8.2.2.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Etapa 6.8.2.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Etapa 6.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Etapa 6.8.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Etapa 6.8.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.8.5

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.5.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 6.8.5.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 6.8.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.8.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.8.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.8.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.8.5.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 6.8.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 6.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 7

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 18$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $10$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < 0$ ou $0 < x < 3$ ou $x > 3$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 15