Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

Etapa 1

Simplifique $4^{2} + 24 x + 47$ .

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Etapa 1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = 16 + 24 x + 47$

Etapa 1.2

Some $16$ e $47$ .

$y = 24 x + 63$

Etapa 2

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Etapa 3

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

Etapa 4

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

Etapa 5

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - \frac{21}{8}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{21}{8}$ para o numerador.

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $8$ de $24$ .

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

Etapa 5.1.1.3

Cancele o fator comum.

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

Etapa 5.1.1.4

Reescreva a expressão.

$3 \cdot - 21 + 63$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $- 21$ .

$- 63 + 63$

Etapa 5.2

Some $- 63$ e $63$ .

$0$

Etapa 6

Como $- \frac{21}{8}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + \frac{21}{8}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

Etapa 7

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 7.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

Etapa 7.2

O primeiro número no dividendo $(24)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

Etapa 7.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(24)$ pelo divisor $(- \frac{21}{8})$ e coloque o resultado de $(- 63)$ sob o próximo termo no dividendo $(63)$ .

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

Etapa 7.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

Etapa 7.5

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$24$

Etapa 8

Como $24 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 9

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$x + \frac{21}{8}$

Etapa 10

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $24 x + 63$ .

$x = - \frac{21}{8}$

Etapa 11