Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Etapa 1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Etapa 2

Defina o argumento em $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Etapa 3.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ como ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 3.3.4.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 3.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 3.3.6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 3.3.7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.3.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 3.3.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.10

Consolide as soluções.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.4

Encontre o domínio de $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 3.4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Etapa 3.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Etapa 3.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Etapa 3.6.1.3

O lado esquerdo $1.08738037$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.6.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Etapa 3.6.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Etapa 3.6.3.3

O lado esquerdo $1.08738037$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadeiro

$x < - \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadeiro

Etapa 3.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \sqrt{2}$ ou $x > \sqrt{2}$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Etapa 7