Matemática discreta Exemplos

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Etapa 1

Defina $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ como igual a $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 8 x$ de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $3$ de $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $3$ de $- 9$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.1.3.4

Fatore $3$ de $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.1.3.5

Fatore $3$ de $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.1.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 2.1.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 2.1.8.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.8.3

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Etapa 2.1.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Etapa 2.1.11

Reordene os termos.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.4

Defina $3 x^{2} - 8 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x^{2} - 8 x + 3$ como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Etapa 4