Cálculo Exemplos

y = sin (x y)

$y = \sin (x y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (sin (x y))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Etapa 2

A derivada de

y

$y$ em relação a

x

$x$ é

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = x y

$g (x) = x y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

x y

$x y$ .

\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de

sin (u)

$\sin (u)$ em relação a

u

$u$ é

cos (u)

$\cos (u)$ .

cos (u) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

x y

$x y$ .

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = y

$g (x) = y$ .

cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

cos (x y) (x y' + y \cdot 1)

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique

y

$y$ por

1

$1$ .

cos (x y) (x y' + y)

$\cos (x y) (x y' + y)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

cos (x y) (x y') + cos (x y) y

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

y' = x cos (x y) y' + y cos (x y)

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 5

Resolva

y'

$y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Etapa 5.2

Subtraia

x y' cos (x y)

$x y' \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

y' - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3

Fatore

y'

$y'$ de

y' - x y' cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore

y'

$y'$ de

{y'}^{1}

${y'}^{1}$ .

y' \cdot 1 - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3.2

Fatore

y'

$y'$ de

- x y' cos (x y)

$- x y' \cos (x y)$ .

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3.3

Fatore

y'

$y'$ de

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y))

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ por

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ por

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

\frac{y' (1 - x cos (x y))}{1 - x cos (x y)} = \frac{y cos (x y)}{1 - x cos (x y)}

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 6

Substitua

$y'$ por

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$