Cálculo Exemplos

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$4 x - x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $4 x - x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $u$ de $4 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Fatore $u$ de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.1.2.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Etapa 1.2.1.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $4 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $4 - x$ como igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $4 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (4 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Etapa 2

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Etapa 4.7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Etapa 4.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Etapa 4.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Etapa 4.9.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.4

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.5

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.7.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.7.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.9.2.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Etapa 4.9.2.3.11

Subtraia $1$ de $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Etapa 4.9.2.3.12

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.12.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Etapa 4.9.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 4.9.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.9.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Etapa 4.9.2.3.12.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Etapa 4.9.2.3.13

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Etapa 4.9.2.3.14

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.15

Combine $16$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.2.3.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.17.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Etapa 4.9.2.3.17.2

Some $- 26$ e $48$ .

$\frac{22}{3}$

Etapa 5