Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2}$ , $y = x^{3}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x^{2} = x^{3}$

Etapa 1.2

Resolva $2 x^{2} = x^{3}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2} - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 2 - x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{3}$ .

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x)$ .

$x^{2} (2 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0 + y = x^{3}$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{3}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{3}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{3}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = {(2)}^{3}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{3}$

Etapa 1.4.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = 8$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(2, 8)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x^{2} d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - (x^{3}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $2$ e em $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.5

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.6

Combine $2$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.7

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.8

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.9

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 3.9.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{4})$

Etapa 3.9.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.11.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 3.9.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.11.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - 0)$

Etapa 3.9.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 + 0)$

Etapa 3.9.2.3.13

Some $4$ e $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4$

Etapa 3.9.2.3.14

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{16}{3} - 4$

Etapa 3.9.2.3.15

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.16

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.9.2.3.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.18.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{16 - 12}{3}$

Etapa 3.9.2.3.18.2

Subtraia $12$ de $16$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 4