Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ como ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$