Cálculo Exemplos

$y = \ln (\cos (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\cos (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Etapa 3.4.3

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.4.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \tan (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan (x)$