Cálculo Exemplos

$\sin (4 y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 y$ .

$\cos (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (4 y) (4 y')$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $\cos (4 y) (4 y')$ .

$4 \cos (4 y) y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 \cos (4 y) y' = 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 \cos (4 y) y' = 1$ por $4 \cos (4 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 \cos (4 y) y' = 1$ por $4 \cos (4 y)$ .

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (4 y)$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 y)}$

Etapa 5.3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (4 y)}$ em $\sec (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{4} \sec (4 y)$

Etapa 5.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sec (4 y)$ .

$y' = \frac{\sec (4 y)}{4}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 y)}{4}$