Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{9}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{9}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 + 9 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$1 - 9 x^{- 2}$

Etapa 1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.1.1

Combine $- 9$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{9}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 9 = - x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 9$ .

$- x^{2} = - 9$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.5.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{9}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x + \frac{9}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$(3) + \frac{9}{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Divida $9$ por $3$ .

$3 + 3$

Etapa 4.1.2.2

Some $3$ e $3$ .

$6$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$(- 3) + \frac{9}{- 3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida $9$ por $- 3$ .

$- 3 - 3$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $3$ de $- 3$ .

$- 6$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) + \frac{9}{0}$

Etapa 4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(3, 6), (- 3, - 6)$

Etapa 5